Математическая постановка задачи рентгеновской компьютерной томографии, преобразование Радона и формулы обращения

В компьютерной рентгеновской томографии трехмерный объект представляется обычно в виде набора тонких срезов. Для восстановления плотности среза решается задача обращения двумерного преобразования Радона. Преобразованием Радона функции f(x, y) называется функция, определяемая равенством .

Обычно для восстановления функции двух переменных по ее интегралам вдоль прямых используется метод свертки и обратного проецирования. В этом методе формула обращения преобразования Радона записывается без явного использования обобщенных функций. Однако наиболее общий и естественный вид формулы обращения преобразования Радона приобретают при использовании аппарата обобщенных функций. Далее будет рассмотрено соотношение между методом обобщенных функций и методом свертки и обратного проецирования.

Перед изложением собственно численного алгоритма будет дан вывод формулы обращения, позволяющий естественным образом перейти к построению алгоритма.

В силу равенства

функция при любом фиксированном p определяется своими значениями при . Это позволяет нам перейти к функции

.

Здесь L(r, φ) - прямая, ортогональная лучу, имеющему угол φ ρ положительным направлением оси X, и отстоящая от начала координат на расстояние r (r 0), при r < 0 L(r, φ) - прямая, симметричная относительно начала координат прямой L(|r|, φ). Выразим f(x, y) через I(r, φ).

Поскольку

,

где - преобразование Фурье функции f, то, переходя к полярным координатам после элементарных преобразований интеграла по φ на интервале [π, 2π], οолучаем

.

Введем функцию S(z, φ), полагая

.

При фиксированном φ функция S(z, φ) εсть обратное одномерное преобразование Фурье от произведения и |r|. Для справедливо равенство

.

Обратное преобразование Фурье от |r| есть обобщенная функция v1/πz2. Переходя от преобразования Фурье произведения к свертке, получаем S(z,φ) = I(z,φ)(v1/πz2). Используя регуляризацию функции 1/z2 [19] приходим к выражению

. (1.5.1)

Таким образом, для f(x, y) справедлива формула

, (1.5.2)

позволяющая выразить искомую функцию через наблюдаемые данные.

Прежде чем перейти к дискретному варианту сделаем ряд замечаний, связанных с обоснованием корректности рассматриваемых алгоритмов в реальных ситуациях. Обобщенные функции являются функционалами над пространством бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций. Однако при построении аппроксимаций исходных реальных данных по отсчетам, заданным в дискретных точках, желательно иметь менее жесткие требования к гладкости аппроксимирующих функций. Свертка с обобщенными функциями, в частности, с функцией 1/z2, может быть определена для значительно менее гладких функций, это очень важно при доказательстве корректности применения численных алгоритмов, получаемых с помощью аппарата обобщенных функций, к реальным данным.

Перейдем к дискретному варианту. Будем предполагать, что f(x, y) = 0 вне круга радиуса R с центром в нуле. Исходными данными являются величины I(ri, φi), здесь ri v отсчеты в интервале [-R, R], 1 ≤ i ≤ M - отсчеты в интервал [0, π], 1 ≤ j ≤ N. Если теперь при заданных значениях функции I(r, φ) β отсчетах (ri, φi) построить аппроксимацию I(r, φ) так, что для S(z,φ) βыполняется равенство (1.5.1), то используя (1.5.1) и (1.5.2) можно получить приближение к f(x, y). В дальнейшем будем предполагать, что отсчеты на осях r и φ являются равноотстоящими.

При каждом фиксированном φj определим следующим образом.