Медицина будущего

В ближайшем будущем диагностировать болезнь можно будет с помощью мобильных приложений. А первые «здоровые» приложения для Android и iOS появляются уже сегодня.

От диагноза по интернету до микросхем в таблетках...

Математическая постановка задачи рентгеновской компьютерной томографии, преобразование Радона и формулы обращения
Материалы / Средства визуализации изображений в компьютерной томографии и цифровых рентгенографических системах / Математические основы компьютерной томографии / Математическая постановка задачи рентгеновской компьютерной томографии, преобразование Радона и формулы обращения
Страница 1

В компьютерной рентгеновской томографии трехмерный объект представляется обычно в виде набора тонких срезов. Для восстановления плотности среза решается задача обращения двумерного преобразования Радона. Преобразованием Радона функции f(x, y) называется функция, определяемая равенством .

Обычно для восстановления функции двух переменных по ее интегралам вдоль прямых используется метод свертки и обратного проецирования. В этом методе формула обращения преобразования Радона записывается без явного использования обобщенных функций. Однако наиболее общий и естественный вид формулы обращения преобразования Радона приобретают при использовании аппарата обобщенных функций. Далее будет рассмотрено соотношение между методом обобщенных функций и методом свертки и обратного проецирования.

Перед изложением собственно численного алгоритма будет дан вывод формулы обращения, позволяющий естественным образом перейти к построению алгоритма.

В силу равенства

функция при любом фиксированном p определяется своими значениями при . Это позволяет нам перейти к функции

.

Здесь L(r, φ) - прямая, ортогональная лучу, имеющему угол φ ρ положительным направлением оси X, и отстоящая от начала координат на расстояние r (r 0), при r < 0 L(r, φ) - прямая, симметричная относительно начала координат прямой L(|r|, φ). Выразим f(x, y) через I(r, φ).

Поскольку

,

где - преобразование Фурье функции f, то, переходя к полярным координатам после элементарных преобразований интеграла по φ на интервале [π, 2π], οолучаем

.

Введем функцию S(z, φ), полагая

.

При фиксированном φ функция S(z, φ) εсть обратное одномерное преобразование Фурье от произведения и |r|. Для справедливо равенство

.

Обратное преобразование Фурье от |r| есть обобщенная функция v1/πz2. Переходя от преобразования Фурье произведения к свертке, получаем S(z,φ) = I(z,φ)(v1/πz2). Используя регуляризацию функции 1/z2 [19] приходим к выражению

. (1.5.1)

Таким образом, для f(x, y) справедлива формула

, (1.5.2)

позволяющая выразить искомую функцию через наблюдаемые данные.

Прежде чем перейти к дискретному варианту сделаем ряд замечаний, связанных с обоснованием корректности рассматриваемых алгоритмов в реальных ситуациях. Обобщенные функции являются функционалами над пространством бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций. Однако при построении аппроксимаций исходных реальных данных по отсчетам, заданным в дискретных точках, желательно иметь менее жесткие требования к гладкости аппроксимирующих функций. Свертка с обобщенными функциями, в частности, с функцией 1/z2, может быть определена для значительно менее гладких функций, это очень важно при доказательстве корректности применения численных алгоритмов, получаемых с помощью аппарата обобщенных функций, к реальным данным.

Перейдем к дискретному варианту. Будем предполагать, что f(x, y) = 0 вне круга радиуса R с центром в нуле. Исходными данными являются величины I(ri, φi), здесь ri v отсчеты в интервале [-R, R], 1 ≤ i ≤ M - отсчеты в интервал [0, π], 1 ≤ j ≤ N. Если теперь при заданных значениях функции I(r, φ) β отсчетах (ri, φi) построить аппроксимацию I(r, φ) так, что для S(z,φ) βыполняется равенство (1.5.1), то используя (1.5.1) и (1.5.2) можно получить приближение к f(x, y). В дальнейшем будем предполагать, что отсчеты на осях r и φ являются равноотстоящими.

При каждом фиксированном φj определим следующим образом.

Страницы: 1 2 3

Смотрите также

Острый холецистит
Острый холецистит – одно из наиболее распространенных хирургических заболеваний, и по частоте занимает второе место после аппендицита. Проблема острого холецистита на протяжении последних трех ...

Практическая значимость исследования
Полученные данные способствуют решению сложных диагностических проблем, возникающих при клинической квалификации органных неврозов (психосоматических расстройств с высокой распространенностью среди ...

Классификация препаратов
Лекарственные средства, вызывающие рвоту, классифицируют в зависимости от локализации точек приложения их действия. По такому принципу они делятся на: 1. Средства центрального дейст ...





Витаминоподобные вещества

Easy to start Еще около 10 соединений имеют витаминоподобные свойства и играют ключевые роли в обменных клеточных процессах организма.

Читать дальше...

Рациональное питание

Россия имеет низкую культуру знаний в отношении питания. Они основаны на традиционных подходах без учета новаторства.

Читать дальше...

Минеральные вещества и их значение

Native RTL Support Минеральные вещества относятся к незаменимым факторам питания и должны в определенных количествах постоянно посту­пать в организм.

Читать дальше...