Медицина будущего

В ближайшем будущем диагностировать болезнь можно будет с помощью мобильных приложений. А первые «здоровые» приложения для Android и iOS появляются уже сегодня.

От диагноза по интернету до микросхем в таблетках...

Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования
Страница 2

S(r, j ) = I(r, j ) * (-1/p r2 ) =

(2.2.5)

В реальных ситуациях функция I(r, j ) известна в некотором дискретном множестве точек. Для того, чтобы использовать формулу (2.2.4) нужно построить аппроксимацию функции I(r, j ), такую что интеграл в правой части имеет смысл. Интеграл (2.2.4) заведомо сходится, если функция I(r, j ) принадлежит множеству K, то есть имеет финитный носитель и является бесконечно дифференцируемой.

Однако аппроксимация данных бесконечно дифференцируемой функцией может оказаться громоздкой при построении численных алгоритмов. Кроме того, использование бесконечно дифференцируемых функций может приводить к заглаживанию границ областей с резко отличающимися плотностями. Для сходимости интеграла в (2.2.5) достаточно, чтобы функция I(r, j ) имела в каждой точке конечные односторонние производные первого порядка по переменной r. Это позволяет, в частности, использовать кубические сплайны для построения аппроксимации функции I(r, j ).

Основными операциями с обобщенными функциями, используемыми в задачах томографии, являются свертка, дифференцирование и преобразование Фурье. Основная идея определения операций заключается в том, что некоторые свойства функционалов, задаваемых регулярными функциями, берутся за основу при определении соответствующих операций над обобщенными функциями, являющимися линейными функционалами.

На этой основе построено приведенное выше определение свертки. Особенно просто и наглядно этот прием можно продемонстрировать при определении операции дифференцирования обобщенных функций.

Пусть линейный функционал f задается регулярной функцией f(x) имеющей интегрируемую производную. Для действия производной на функцию a (x) из пространства основных можно записать равенство

, (2.2.6)

здесь использовано интегрирование по частям и то, что a (x) равна нулю вне некоторого конечного интервала.

Приведенное выше свойство берется за основу при определении производной обобщенной функции. Пусть задан функционал f, его производной называется функционал f/, определяемый равенством . Так как функции из пространства основных бесконечно дифференцируемы, то определение является корректным и обобщенные функции имеют производные любого порядка.

Перейдем к определению преобразования Фурье в смысле обобщенных функций. В приводившихся выше определениях функции, входящие в пространство основных, были действительными. При определении преобразования Фурье целесообразно в качестве основных рассмотреть комплекснозначные функции.

Пусть K пространство комплексных основных функций (бесконечно дифференцируемых с финитным носителем).

Каждой комплекснозначной локально интегрируемой функции f(x) ставится в соответствие функционал

,

комплексно сопряжена с f(x), a (x) Î K.

Множество всех линейных непрерывных функционалов на K образует комплексное пространство обобщенных функций K/. Обозначим через Z - множество функций, являющихся преобразованиями Фурье функций из K.

Страницы: 1 2 3 4

Смотрите также

Некоторые методы лечения переломов длинных трубчатых костей
...

Рациональное питание человека
Обеспечение производства продуктов питания в количестве и ассортименте, достаточных для устойчивого продовольственного снабжения населения,— такая задача на ближайшие годы стоит в России пе ...

Отчет о применении лекарств
Один из блоков в системе МедПомощь может использоваться для исследования моделей употребления лекарств во время особых периодов. Компьютерный список показывает: 1. назначения - с сортировкой по ...





Витаминоподобные вещества

Easy to start Еще около 10 соединений имеют витаминоподобные свойства и играют ключевые роли в обменных клеточных процессах организма.

Читать дальше...

Рациональное питание

Россия имеет низкую культуру знаний в отношении питания. Они основаны на традиционных подходах без учета новаторства.

Читать дальше...

Минеральные вещества и их значение

Native RTL Support Минеральные вещества относятся к незаменимым факторам питания и должны в определенных количествах постоянно посту­пать в организм.

Читать дальше...