Медицина будущего

В ближайшем будущем диагностировать болезнь можно будет с помощью мобильных приложений. А первые «здоровые» приложения для Android и iOS появляются уже сегодня.

От диагноза по интернету до микросхем в таблетках...

Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования
Страница 3

Преобразованием Фурье элемента f из пространства K называется функционал g на пространстве Z, действующий по формуле

(g, y ) = 2 p (f, a ), (2.2.7)

здесь j такой элемент из K, для которого преобразование Фурье есть y . То есть для того чтобы вычислить действие функционала g на функцию y (l ) из пространства Z, нужно:

найти такую функцию a (x) из пространства K, преобразованием Фурье, которой является функция y (l );

найти действие функционала f на найденную функцию a (x).

Пространства основных функций и функционалов над ними выбраны нами так, что оба шага всегда выполнимы.

Здесь следует обратить внимание на то, что обобщенные функции и их преобразования Фурье определяются как линейные функционалы над разными основными пространствами. Причем функции из множества Z, на котором действуют преобразования Фурье, не являются функциями с финитными носителями, но продолжают оставаться бесконечно дифференцируемым. Что позволяет сохранить многие полезные свойства обобщенных функций.

В формулах обращения лучевого преобразования, на которых основаны алгоритмы решения задачах трехмерной компьютерной томографии, используется преобразование Фурье однородных функций. Классическое преобразование Фурье таких функций не существует, преобразование Фурье в формулах понимается в смысле обобщенных функций.

Рассмотрим несколько подробнее этот вопрос с точки зрения возможности построения соответствующих численных алгоритмов в трехмерном пространстве.

Напомним определение лучевого преобразования, которое было дано в предыдущих параграфах.

Лучевым преобразованием функции f(x) = f(x1, x2, x3) называется функция

, (2.2.8)

являющаяся интегралом от f(x) вдоль луча, исходящего из точки S = (s1, s2, s3) в направлении вектора a = (a 1, a 2, a 3).

Как уже отмечалось выше, в наряду с функцией рассматривается функция

,

являющаяся интегралом по всей прямой или, что тоже самое, суммой интегралов вдоль лучей из точки S в направлениях a и - a .

Обе функции являются однородными степени -1, то есть для них выполняются равенства

, .

Отметим также, что является четной, а функция таковой не является.

Понятие однородности степени l можно естественным образом расширить на обобщенные функции, если взять за основу равенство g(g x) = g l g(x). В терминах действия на основную функцию j равенство запишется в виде (g, j (x/g ) = g l +n (g, j (x)), здесь g v любое вещественное число большее нуля, n n - размерность пространства, в котором заданы основные функции. В интегральном представлении обобщенных функций показатель n возникает при соответствующей замене переменных в dx.

Известно, что преобразование Фурье однородной обобщенной функции, тоже является однородной обобщенной функцией.

Для интегрируемых, ограниченных и имеющих ограниченный носитель, функций f их лучевое преобразование является регулярной однородной функцией. Из результатов работ следует, что в трехмерном пространстве преобразование Фурье таких функций, понимаемое в обобщенном смысле, задается регулярной функцией. Регулярная однородная функция задается своими значениями на единичной сфере. Таким образом, в практических ситуациях при инвертировании лучевого преобразования нас интересует соотношение между двумя функциями. Одна из них является сужением на единичную сферу лучевого преобразования, а другая - сужением на единичную сферу преобразование Фурье лучевых данных, понимаемого в смысле обобщенных функций. Подобное преобразование между функциями, заданными на единичной сфере естественно назвать преобразованием Семянистого, поскольку в его работе впервые получены подобные соотношения для симметричных однородных функций в n-мерных пространствах. Как уже отмечалось выше, функция не является симметричной, для нее соответствующие соотношения для функций на единичных сферах в трехмерном пространстве были получены в предыдущих параграфах.

Страницы: 1 2 3 4

Смотрите также

Хламидиоз в гинекологической практике
...

Определение, классификация, этиология терминальных состояний
Терминальные состояния – пограничные между жизнью и смертью состояния, конечные этапы жизни или стадии умирания [1]. Хотя правильнее называть терминальные состояния наиболее крайними, экстремал ...

Структура и функции эпидемиологического надзора
Характеристика эпидемиологического надзора Эпидемиологический надзор представляет информационную систему обеспечения органов здравоохранения сведениями, необходимыми для осуществления мероп ...





Витаминоподобные вещества

Easy to start Еще около 10 соединений имеют витаминоподобные свойства и играют ключевые роли в обменных клеточных процессах организма.

Читать дальше...

Рациональное питание

Россия имеет низкую культуру знаний в отношении питания. Они основаны на традиционных подходах без учета новаторства.

Читать дальше...

Минеральные вещества и их значение

Native RTL Support Минеральные вещества относятся к незаменимым факторам питания и должны в определенных количествах постоянно посту­пать в организм.

Читать дальше...